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Wahrheitswertfunktionen für Implikationen
Für den dreitwertigen Fall von&;ukasiewicz [1]und für den mehrwertigen Fall von&;ukasiewicz/Tarski [2] wurde die&;ukasiewicz-Tarski-Implikation zur Beschreibung einer mehrwertigenImplikation benutzt. Sie ist wie folgt definiert:
seq1 (x, y) =df min(1, 1 – x + y)
Zu jeder T-Norm tlässt sich eine Wahrheitswertfunktion der Implikationbestimmen, die wie folgt definiert ist:
seqt (x, y) =df sup {x: t(x, z) &; y}.
Die &;ukasiewicz-Tarksi-Implikation ist nach diesem Schema an die Bounded Difference gebunden.
Eine andere mehrwertige Implikation hat Gödel[3] entwickelt. Diese Implikation wird daher auch als Gödel-Implikation bezeichnet. Sie ist wie folgt definiert.
seq2 (x, y) =df 1 falls x &; y, sonst y.
Der gleiche Zusammenhang wie zwischen &;ukasiewicz-Tarksi-Implikation und Bounded Difference besteht zwischen Gödel-Implikationund &;ukasiewicz-Tarksi-Konjunktion.
Die G43-Implikation wird wie folgt berechnet:
seq3 (x, y) =df 1, falls x &; y, sonst y/x.
Die Zadeh-1-Implikation ist wie folgt definiert:
seq4 (x, y) =df 1 – x, fallsx < y, 1 falls x = y, sonst y.
Die Zadeh-2-Implikation wird wie folgt bestimmt:
seq5 (x, y) =df 1 fallsx &; y, sonst min(1 – x, y).
Die Zadeh-3-Implikation wird bestimmt als:
seq6 (x, y) =df 1 fallsx &; y, sonst y/(x+(1-y)).
Die nächste Implikation findet sich bereitsbei Post und wird daher von mirPost-Implikation genannt.
seq7 (x, y) =df seq2 (x, y), falls x ausgezeichneter Wahrheitswert ist, seq1 (x, y) sonst.
Diese Implikation muss nicht die Standardbedingung der Implikationerfüllen.
Die Implikation seq8 ist eine Verallgemeinerung der dreiwertigen Implikation vonKleene und wie folgt definiert:
seq8 (x, y) =df max(1 – x, y)
Diese Implikation erfüllt die Normalbedingung der Implikation.
[1] &;ukasiewicz, J.: O logice trójwarto&;ciowej, Ruch Filozoficzny 5 1920, 170f.;
engl. in: &;ukasiewicz, J.: Selected Works (ed. L. Borkowski)Amsterdam/London/Warschau 1970
[2] &;ukasiewicz, J./Tarski, A.: Untersuchungenüber den Aussagenkalkül,Comptes Rendus Séances Société des Sciences et Lettres Varsovie, Cl. III, 23 (1930), 30 – 50
[3] Gödel, K.: Zum intuitionistischen Aussagenkalkül. In:Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien. Math.-naturwissensch. Klasse 69(1932), 65 – 66