Wahrheitswertfunktionen für Alternativen
Am häufigsten wird in der mehrwertigen Logik dieWahrheitswertfunktion vel1 verwendet, die bereitsbei &;ukasiewicz[1] und allgemeiner bei Post [2] und &;ukasiewicz/Tarski[3] vorkommt.Diese &;ukasiewicz-Tarksi-Alternative ist definiert:
vel1(x, y) =df max(x, y).
Sie erfüllt die Normalbedingung der Alternative.
Jeder T-Norm t lässt sich eine Alternative velt zuordnen, die wie folgt definiert ist:
velt (x, y) =df 1 – t(1 – x, 1 – y).
Diese Funktion ist die sogenannte T-Conorm. Jede T-Conorm erfüllt die Normalbedingung der Alternative.
Die &;ukasiewicz-Tarski-Alternative ist die zur &;ukasiwicz-Tarski-Konjunktion gehörende T-Conorm.
Ein zweites Beispiel einer mehrwertigen Alternative, die Bounded Sum bzw. starke Alternative, wird nach der Formel
vel2(x, y) =df min(1, x + y)
berechnet. Auch diese Alternative erfüllt dieNormalitätsbedingung und ist die zurBounded Differencegehörende T-Conorm.
Die Yager-Union wird fürp &; 1 wie folgt berechnet:
vel3p (x, y) =df min(1,(xp+yp)1/p)
Ob es sich bei dieser Alternative um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.
Die Werner-Union wird für0 &;g &; 1 wie folgt berechnet:
vel4g (x, y) =df g * max(x, y) + 0.5 * (1 – g) * (x + y).
Ob es sich bei dieser Alternative um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.
Die Hamacher-Sum berechnet sich nach der Formel:
vel5 (x, y) =df (x + y – 2 * x * y) / (1 – x * y), falls x * y &; 1, 1 sonst.
Ob es sich bei dieser Alternative um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.
Die Hamacher-Unionberechnet sich für g&; -1 nach der Formel:
vel6g (x, y) =df((g – 1) * x * y + x + y) / (1 + g * x * y);
Ob es sich bei dieser Alternative um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.
Die Schweizer-(1)-Union ergibt sich für p > 0 nach der Formel:
vel7p (x, y) =df1 – max(0, min(1,((1-x)p+(1-y)p-1)1/p))
Für p = 1 ergibt sich die Bounded Sum.
Ob es sich bei jeder Schweizer-(1)-Union um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.
Die Schweizer-(2)-Union ergibtsich für p > 0 nach der Formel:
vel8p (x, y) =df 1-1/((1-x)-p+(1-y)-p-1)
Für p = 1 ergibt sich für die Hamacher Sum.
Ob es sich bei der Schweizer-(2)-Union um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.
Die Schweizer-(3)-Unionist für p > 0 definiert. Die Wahrheitswertfunktion wird wie folgt berechnet:
vel9p (x, y) =df (xp+yp-xp*yp)1/p
Für p = 1 ergibt sich die Formel:
vel91 (x, y) =df x + y – x * y
Diese Formel ist nur bei unendlicher Quasiwahrheitswertmenge oder im zweiwertigen Fall sinnvoll. Diese Alternative erfüllt die Normalbedingung der Alternative und ist diezum Algebraic Product gehörende T-Conorm.
Ob es sich bei jeder Schweizer-(3)-Union um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.
Die Dombi-Union ist für p > 0 und p &; 1 definiert. Sie berechnet sich wie folgt:
vel101 (x, y) =df 1 falls x = 1 oder y = 1, sonst 1 – 1 / (1 + ((x/(1-x))p+(y/(1-y))p)1/p)
Ob es sich bei der Dombi-Union um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.
Die Weber-Union istfür p &; -1 definiert. DieseAlternative wird wie folgt berechnet:
vel111 (x, y) =df min(1,x+y+p*x*y)
Für p = 0 ergibt sich die Bounded Sum. Für p = -1 ergibt sich
vel11-1 (x, y) =df x + y – x * y
Diese Alternative war schon ein Spezialfall der Schweizer-(3)-Unionfür p = 1. Diese Formel ist nur bei unendlicher Quasiwahrheitswertmenge oder im zweiwertigen Fall sinnvoll. Diese Alternative erfüllt die Normalbedingung der Alternative und ist diezum Algebraic Product gehörende T-Conorm.
Ob es sich bei jeder Weber-Union um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.
Die Dubois-Union ist fü0 &; p &; 1 definiert und berechnet sich wie folgt:
vel12p (x, y) =df1, falls x = 1 oder y = 1, sonst 1 – (1-x) * (1-y) / max(max(1-x,1-y),p)
Ob es sich bei der Dubois-Union um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.
Das Dual-of-Geometric-Meanwird wie folgt berechnet:
vel13p (x, y) =df1 – ((1-x)*(1-y))1/2
Ob es sich beim Dual-of-Geometric-Mean um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.
Das Dual-of-Harmonic-Meanwird wie folgt berechnet:
vel13p (x, y) =df1 falls x = 1 und y = 1, sonst (x+y-2*x*y)/(2-x-y)
Ob es sich beim Dual-of-Harmonic-Mean um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.
[1] &;ukasiewicz, J.: O logice trójwarto&;ciowej, Ruch Filozoficzny 5 1920, 170f.;
engl. in: &;ukasiewicz, J.: Selected Works (ed. L. Borkowski)Amsterdam/London/Warschau 1970
[2] Post, E. L.: Introduction to a general theory of elementarypropositions. American Journal Mathematics 43 (1921), 163 – 185
[3] &;ukasiewicz, J./Tarski, A.: Untersuchungenüber den Aussagenkalkül,Comptes Rendus Séances Société des Sciences et Lettres Varsovie, Cl. III, 23 (1930), 30 – 50