Wahrheitswertfunktionen für Implikationen

seq₁ (x, y) =_df min(1, 1 – x + y)

Zu jeder T-Norm tlässt sich eine Wahrheitswertfunktion der Implikationbestimmen, die wie folgt definiert ist:

seq_t (x, y) =_df sup {x: t(x, z) &; y}.

Die &;ukasiewicz-Tarksi-Implikation ist nach diesem Schema an die Bounded Difference gebunden.

Eine andere mehrwertige Implikation hat Gödel[3] entwickelt. Diese Implikation wird daher auch als Gödel-Implikation bezeichnet. Sie ist wie folgt definiert.

seq₂ (x, y) =_df 1 falls x &; y, sonst y.

Der gleiche Zusammenhang wie zwischen &;ukasiewicz-Tarksi-Implikation und Bounded Difference besteht zwischen Gödel-Implikationund &;ukasiewicz-Tarksi-Konjunktion.

Die G43-Implikation wird wie folgt berechnet:

seq₃ (x, y) =_df 1, falls x &; y, sonst y/x.

Die Zadeh-1-Implikation ist wie folgt definiert:

seq₄ (x, y) =_df 1 – x, fallsx < y, 1 falls x = y, sonst y.

Die Zadeh-2-Implikation wird wie folgt bestimmt:

seq₅ (x, y) =_df 1 fallsx &; y, sonst min(1 – x, y).

Die Zadeh-3-Implikation wird bestimmt als:

seq₆ (x, y) =_df 1 fallsx &; y, sonst y/(x+(1-y)).

Die nächste Implikation findet sich bereitsbei Post und wird daher von mirPost-Implikation genannt.

seq₇ (x, y) =_df seq₂ (x, y), falls x ausgezeichneter Wahrheitswert ist, seq₁ (x, y) sonst.

Diese Implikation muss nicht die Standardbedingung der Implikationerfüllen.

Die Implikation seq₈ ist eine Verallgemeinerung der dreiwertigen Implikation vonKleene und wie folgt definiert:

seq₈ (x, y) =_df max(1 – x, y)

Diese Implikation erfüllt die Normalbedingung der Implikation.

[1] &;ukasiewicz, J.: O logice trójwarto&;ciowej, Ruch Filozoficzny 5 1920, 170f.;
engl. in: &;ukasiewicz, J.: Selected Works (ed. L. Borkowski)Amsterdam/London/Warschau 1970
[2] &;ukasiewicz, J./Tarski, A.: Untersuchungenüber den Aussagenkalkül,Comptes Rendus Séances Société des Sciences et Lettres Varsovie, Cl. III, 23 (1930), 30 – 50
[3] Gödel, K.: Zum intuitionistischen Aussagenkalkül. In:Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien. Math.-naturwissensch. Klasse 69(1932), 65 – 66

Hysteresis

Induktive Verallgemeinerung

In der logischen Untersuchung des Induktionsschlusses gibt es eine starke Tradition eines wahrscheinlichkeitslogischen Ansatzes. Mit diesem konkurriert aber zumindest auch ein Ansatz im Rahmen der mehrwertigen Logik.

Carnap unterscheidet in seiner Arbeit Induktive Logik und Wahrscheinlichkeit fünf Haupttypen der induktiven Verallgemeinerung:

• direkter Schluss
• Voraussageschluß
• Analogieschluß
• inverser Schluss
• Allschluß

Hume, Popper u. a. bezweifeln die Möglichkeit, durch induktive Verallgemeinerung die Wahrheit wissenschaftlicher Hypothesen begründen zu können.

Die induktive Verallgemeinerung ist Grundlage des Induktivismus.