Algebraische Logik

Das bekannteste Beispiel für eine algebraische Logik ist die Algebra der Logik. Andere Beispiele sind die Aussagenlogik von McColl, die Zylinderalgebra, die substitutiv indizierte Algebra und die polyadische Algebra.

Allgemeiner Begriff, Allgemeinbegriff, Universale

Inhalt

• Allgemeiner Begriff
• Universale
• Universalienstreit
• Begriffsrealismus
• Realismus, extremer
• Realismus, gemäßigter
• Nominalismus
• Terminismus
• Intentionismus
• Nominalismus, extremer
• Konzeptualismus

Ein allgemeiner Begriff ist ein Begriff, in dem Eigenschaften einer ganzen Klasse von Gegenständen widergespiegelt werden, die denselben Namen haben, z. B. die Begriffe Lampe, Heft.

Der allgemeine Begriff wird auch Allgemeinbegriff oder Universale genannt.

Ein allgemeiner Begriff kann die Eigenschaften einer Klasse mit einer endlichen Anzahl von Gegenständen widerspiegeln und auch Eigenschaften einer Klasse mit unbegrenzter oder unendlicher Anzahl von Gegenständen. Der Terminus Universalien wurde in der mittelalterlichen Logik zur Bezeichnung von Allgemeinbegriffen und allgemeinen Ideen verwendet.

Im 10. bis 14. Jahrhundert entbrannte der Universalienstreit zwischen den Anhängern des Begriffsrealismus und des Nominalismus über die Frage, ob reale Urbilder von Allgemeinbegriffen existieren. Der Begriffsrealismus sagt, dass Allgemeinbegriffe, im Gegensatz zu den Einzeldingen, die bloß an ihnen teilhaben, das eigentlich Reale sind. Z. B. ist die Farbe Rot nach Ansicht des Begriffsrealismus Grund für die Realität der roten Dinge. Allgemeinbegriffe können für einen Begriffsrealisten entweder unabhängig von den Einzeldingen existieren oder ihnen immanent sein (Platon, Aristoteles, Hegel, Frege, Husserl, Ingarden, Russell). Die konsequentesten Begriffsrealisten, die man als extreme Realisten bezeichnete, erklärten, dass die Universalien real existieren und der Entstehung der Einzeldinge vorausgehen. Der Begründer des extremen Realismus war Johannes Scotus Eriugena.

Einige Realisten, die man die gemäßigten nannte, meinten, dass es drei Arten von Universalien gibt:

1. Universalien, die sich in der göttlichen Vernunft befinden und vor den Einzeldingen existieren;
2. Universalien, die als Allgemeines in den Einzeldingen selbst existieren;
3. Universalien, die im Verstand des Menschen existieren, d. h. nach den Dingen.

Einen gemäßigten Realismus vertraten Avicenna und Averroës, später auch Thomas von Aquino.

Im Gegensatz zu den Realisten lehnten die Nominalisten die Existenz von Universalien ab. Sie behaupteten, dass in der Welt nur Einzeldinge existieren, die individuelle Qualitäten haben. Die Universalien sind Ergebnis des Denkens und spiegeln nicht Qualitäten der Dinge wider. Der Nominalismus vertritt die Auffassung, dass Allgemeinbegriffe bloße Namen sind, die den realen Einzeldingen angehängt werden. Für den Nominalisten existieren Allgemeinbegriffe deshalb nur durch unsere Erfahrungen.

Ein extremer Nominalismus wurde von dem französischen Scholastiker Roscelinus von Compiègne vertreten, der schrieb, dass Universalien nur leerer Schall sind. Andere Vertreter des Nominalismus sind Duns Scotus und Ockham.

Der Terminismus bzw. Intentionismus ist eine Variante des Nominalismus.

In der Geschichte der Logik wird die Meinung vertreten, dass der Terminismus verwandt ist mit dem antiken stoischen Konzeptualismus und die Logik von Hobbes – insbesondere seine Gedanken über den Begriffskalkül – antizipiert.

Real existieren für den Terminismus nur einzelne Dinge. In der Natur gibt es keinerlei universelle Dinge. Die Universalien drücken nur Ähnlichkeiten aus, die in den einzelnen Dingen vorhanden sind. Eine weitere Richtung im Nominalismus wurde von Abaelard, de la Porrée und Johannes von Salisbury vertreten, die bei Negierung der realen Existenz von Universalien vor und nach den Einzeldingen annahmen, dass Universalien im Verstand vor jeglicher Erfahrung entstandene Allgemeinbegriffe, Konzepte sind, die die Rolle einer besonderen Form der Erkenntnis spielen. Die Universalien sind nach diesen Theorien bewusstseinsmäßige Begriffe oder Vorstellungsbilder, die durch das Abstrahieren von Gleichheiten zwischen Einzeldingen zustandekommen. Diese Richtung des Nominalismus ist in die Geschichte der Logik unter dem Namen Konzeptualismus (von lat. concipere, zusammenfassen, begreifen, sich vorstellen) eingegangen und spielt in der zeitgenössischen Diskussion vor allem in der Mengenlehre noch eine Rolle.

Allquantor, universeller Quantor, Generalisator

Für den Allquantor werden gewöhnlich die Symbole &; und verwendet. Mitunter, vor allem in älterer Literatur, findet man auch die Symbole (…), P und A.

Der Allquantor wird entsprechend seiner Bedeutung als für alle oder für jedes gelesen.

Frege, der die Quantorennotation eingeführt hat, betrachtet ein universelles Urteil wie Alle A sind B als mit der Aussage identisch Es gilt für jedes x: wenn x ein A ist, ist x ein B.

Beispiel: Alle Raben sind schwarz, lässt sich nach Frege lesen als: Wenn x ein Rabe ist, dann ist x schwarz.

Wenn R als Abkürzung von ist ein Rabe und S als Abkürzung von ist schwarz verwendet wird, kann diese Aussage wie folgt symbolisiert werden: &;x (Rx &; Sx).

Das Urteil Kein Rabe ist schwarz hat demnach die Form: &;x (Rx &; &;Sx).

In der klassischen zweiwertigen Prädikatenlogik lässt sich der Allquantor auf den Existenzquantor zurückführen: &;x A(x) lässt sich nämlich lesen als: &;&;x &;A(x).

Urteile, die Allquantoren enthalten, heißen universale Urteile.

Wahrheitswertfunktionen für Alternativen

Diese &;ukasiewicz-Tarksi-Alternative ist definiert:

vel₁(x, y) =_df max(x, y).

Sie erfüllt die Normalbedingung der Alternative.

Jeder T-Norm t lässt sich eine Alternative vel_t zuordnen, die wie folgt definiert ist:

vel_t (x, y) =_df 1 – t(1 – x, 1 – y).

Diese Funktion ist die sogenannte T-Conorm. Jede T-Conorm erfüllt die Normalbedingung der Alternative.

Die &;ukasiewicz-Tarski-Alternative ist die zur &;ukasiwicz-Tarski-Konjunktion gehörende T-Conorm.

Ein zweites Beispiel einer mehrwertigen Alternative, die Bounded Sum bzw. starke Alternative, wird nach der Formel

vel₂(x, y) =_df min(1, x + y)

berechnet. Auch diese Alternative erfüllt dieNormalitätsbedingung und ist die zurBounded Differencegehörende T-Conorm.

Die Yager-Union wird fürp &; 1 wie folgt berechnet:

vel₃^p (x, y) =_df min(1,(x^p+y^p)^1/p)

Ob es sich bei dieser Alternative um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.

Die Werner-Union wird für0 &;g &; 1 wie folgt berechnet:

vel₄^g (x, y) =_df g * max(x, y) + 0.5 * (1 – g) * (x + y).

Ob es sich bei dieser Alternative um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.

Die Hamacher-Sum berechnet sich nach der Formel:

vel₅ (x, y) =_df (x + y – 2 * x * y) / (1 – x * y), falls x * y &; 1, 1 sonst.

Ob es sich bei dieser Alternative um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.

Die Hamacher-Unionberechnet sich für g&; -1 nach der Formel:

vel₆^g (x, y) =_df((g – 1) * x * y + x + y) / (1 + g * x * y);

Ob es sich bei dieser Alternative um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.

Die Schweizer-(1)-Union ergibt sich für p > 0 nach der Formel:

vel₇^p (x, y) =_df1 – max(0, min(1,((1-x)^p+(1-y)^p-1)^1/p))

Für p = 1 ergibt sich die Bounded Sum.

Ob es sich bei jeder Schweizer-(1)-Union um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.

Die Schweizer-(2)-Union ergibtsich für p > 0 nach der Formel:

vel₈^p (x, y) =_df 1-1/((1-x)^-p+(1-y)^-p-1)

Für p = 1 ergibt sich für die Hamacher Sum.

Ob es sich bei der Schweizer-(2)-Union um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.

Die Schweizer-(3)-Unionist für p > 0 definiert. Die Wahrheitswertfunktion wird wie folgt berechnet:

vel₉^p (x, y) =_df (x^p+y^p-x^p*y^p)^1/p

Für p = 1 ergibt sich die Formel:

vel₉¹ (x, y) =_df x + y – x * y

Diese Formel ist nur bei unendlicher Quasiwahrheitswertmenge oder im zweiwertigen Fall sinnvoll. Diese Alternative erfüllt die Normalbedingung der Alternative und ist diezum Algebraic Product gehörende T-Conorm.

Ob es sich bei jeder Schweizer-(3)-Union um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.

Die Dombi-Union ist für p > 0 und p &; 1 definiert. Sie berechnet sich wie folgt:

vel₁₀¹ (x, y) =_df 1 falls x = 1 oder y = 1, sonst 1 – 1 / (1 + ((x/(1-x))^p+(y/(1-y))^p)^1/p)

Ob es sich bei der Dombi-Union um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.

Die Weber-Union istfür p &; -1 definiert. DieseAlternative wird wie folgt berechnet:

vel₁₁¹ (x, y) =_df min(1,x+y+p*x*y)

Für p = 0 ergibt sich die Bounded Sum. Für p = -1 ergibt sich

vel₁₁^-1 (x, y) =_df x + y – x * y

Diese Alternative war schon ein Spezialfall der Schweizer-(3)-Unionfür p = 1. Diese Formel ist nur bei unendlicher Quasiwahrheitswertmenge oder im zweiwertigen Fall sinnvoll. Diese Alternative erfüllt die Normalbedingung der Alternative und ist diezum Algebraic Product gehörende T-Conorm.

Ob es sich bei jeder Weber-Union um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.

Die Dubois-Union ist fü0 &; p &; 1 definiert und berechnet sich wie folgt:

vel₁₂^p (x, y) =_df1, falls x = 1 oder y = 1, sonst 1 – (1-x) * (1-y) / max(max(1-x,1-y),p)

Ob es sich bei der Dubois-Union um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.

Das Dual-of-Geometric-Meanwird wie folgt berechnet:

vel₁₃^p (x, y) =_df1 – ((1-x)*(1-y))^1/2

Ob es sich beim Dual-of-Geometric-Mean um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.

Das Dual-of-Harmonic-Meanwird wie folgt berechnet:

vel₁₃^p (x, y) =_df1 falls x = 1 und y = 1, sonst (x+y-2*x*y)/(2-x-y)

Ob es sich beim Dual-of-Harmonic-Mean um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.

[1] &;ukasiewicz, J.: O logice trójwarto&;ciowej, Ruch Filozoficzny 5 1920, 170f.;
engl. in: &;ukasiewicz, J.: Selected Works (ed. L. Borkowski)Amsterdam/London/Warschau 1970
[2] Post, E. L.: Introduction to a general theory of elementarypropositions. American Journal Mathematics 43 (1921), 163 – 185
[3] &;ukasiewicz, J./Tarski, A.: Untersuchungenüber den Aussagenkalkül,Comptes Rendus Séances Société des Sciences et Lettres Varsovie, Cl. III, 23 (1930), 30 – 50

A fortiori

A ist größer als B
B ist größer als C
A ist größer als C

Alexandros von Aphrodisias berichtet, dass bereits Chrysippos diesen Modus kannte.