Wahrheitswertfunktion, Wahrheitsfunktion, Wahrheitswerttabelle
In der Logik nennt man eine Abbildung, die jedem n-Tupel von
Wahrheitswerten einen
Wahrheitswert zuordnet, eine
Wahrheitswertfunktion bzw. genauer eine n-stellige Wahrheitswertfunktion. Man redet mitunter auch kurz von einer
Wahrheitsfunktion.
Ein Satz heiß wahrheitsfunktionell, wenn sein Wahrheitswert nur von den Wahrheitswerten der atomaren Sätze, die dieser enthält, abhängt.
Besonders wichtig ist der Fall mit zwei Wahrheitswerten, d. h. der Fall, in dem das Prinzip der Zweiwertigkeit gilt.
Eine Möglichkeit, eine Wahrheitswertfunktion anzugeben besteht in der vollständigen Aufstellung ihrer Wahrheitswerttabelle (auch: Wahrheitsmatrix, Wertetabelle, Wahrheitswertetafel oder Wahrheitstafel.
Als erster hat wohl Ludwig Wittgenstein 1921 solche Tabellen verwendet.
Die Wahrsheitswertetabelle besteht für eine n-stellige zweiwertige Wahrheitswertfunktion aus n+1 Spalten, je eine für die n Argumente und den Funktionswert, und aus 2n Zeilen, wobei in jeder Zeile ein n-Tupel von Wahrheitswerten und der dazugehörige Funktionswert stehen.
Zur Angabe von mehreren gleichstelligen Wahrheitswerten ist es bequem, eine Wahrheitswerttafel zu verwenden, in der jeder Funktion eine Spalte entspricht, dadurch erspart man sich das mehrfache Hinschreiben der Argumente.
Die folgenden Tabelle gibt alle einstelligen Wahrheitswertfunktionen an:
| p |
| F |
| 1 | 1 |
| F |
| 1 | 2 |
| F |
| 1 | 3 |
| F |
| 1 | 4 | w | w | w | f | f | f | w | f | w | f |
Die 1. und die 4. Wahrheitswertfunktion sind konstante Wahrheitswertfunktionen. Die 2. ist die identische einstellige Wahrheitswertfunktion. Die 3. Funktion ist die Negationsfunktion bzw. non-Funktion. Sie entspricht der einstelligen Aussagenoperation Negation und wird daher oft auch einfach Negation genannt.
Die folgenden Tabelle gibt alle zweistelligen Wahrheitswertfunktionen an:
| p | q |
| F |
| 2 | 1 |
| F |
| 2 | 2 |
| F |
| 2 | 3 |
| F |
| 2 | 4 |
| F |
| 2 | 5 |
| F |
| 2 | 6 |
| F |
| 2 | 7 |
| F |
| 2 | 8 | w | w | w | w | w | w | w | w | w | w | w | f | w | w | w | w | f | f | f | f | f | w | w | w | f | f | w | w | f | f | f | f | w | f | w | f | w | f | w | f |
| p | q |
| F |
| 2 | 9 |
| F |
| 2 | 10 |
| F |
| 2 | 11 |
| F |
| 2 | 12 |
| F |
| 2 | 13 |
| F |
| 2 | 14 |
| F |
| 2 | 15 |
| F |
| 2 | 16 | w | w | f | f | f | f | f | f | f | f | w | f | w | w | w | w | f | f | f | f | f | w | w | w | f | f | w | w | f | f | f | f | w | f | w | f | w | f | w | f |
Von den 16 zweistelligen Wahrheitswertfunktionen sind einige von besonderem Interesse. Die 2. Funktion ist die vel-Funktion, die 5. Funktion ist die seq-Funktion, die 7. Funktion ist die eq-Funktion und die 8. Funktion die et-Funktion.
Sie entsprechen den zweistelligen Aussagenoperationen Alternative, Implikation, Äquivalenz und Konjunktion. Daher werden diese Funktionen oft auch durch diese Worte benannt.
Die 10. Funktion heißt auch die aut-Funktion und wird Antivalenz genannt. Sie entspricht der zweistelligen Aussagneoperation entweder – oder. Die 9. Funktion wird die Sheffer- oder nand-Funktion, die 15. die Nicod-, Peirce- oder nor-Funktion genannt. Die 3. Funktion nennt man auch Gegenimplikation oder Replikation.
Die non-, et-, vel-, seq- und eq-Funktion werden auch die klassischen Wahrheitswertfunktionen genannt.
Innerhalb der mehrwertigen Logik werden mehrwertige Wahrheitswertfunktionen, z. B. der Negation, der Konjunkion, der Alternative und der Implikation betrachtet.
TatsachenwahrheitIn der von Leibniz und Hume getroffenen Unterscheidung von Vernunftwahrheit und Tatsachenwahrheit wird die Tatsachenwahrheit durch das Prinzip vom zureichenden Grunde bestimmt.
Die Tatsachen sind zufällig. Ihr Gegenteil kann widerspruchsfrei gedacht werden und ist daher möglich. Keine Tatsache kann zurecht als wahr oder existierend bezeichnet werden, wenn kein zureichender Grund angegeben werden kann.
In der Version von Leibniz bedeutet dies nichts geschieht ohne Ursache, nach Hume gleiche Ursachen haben gleiche Wirkung.
VernunftwahrheitIn der von Leibniz und Hume getroffenen Unterscheidung von Vernunftwahrheit und Tatsachenwahrheit wird die Vernunftwahrheit durch das Prinzip vom Widerspruch bestimmt. Vernunftwahrheiten sind notwendig. Ihr Gegenteil kann nicht widerspruchsfrei gedacht werden.
Lessing unterschied zufällig Geschichtswahrheiten und notwendige Vernunftwahrheiten.
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