Allquantor, universeller Quantor, Generalisator

Für den Allquantor werden gewöhnlich die Symbole &; und verwendet. Mitunter, vor allem in älterer Literatur, findet man auch die Symbole (…), P und A.

Der Allquantor wird entsprechend seiner Bedeutung als für alle oder für jedes gelesen.

Frege, der die Quantorennotation eingeführt hat, betrachtet ein universelles Urteil wie Alle A sind B als mit der Aussage identisch Es gilt für jedes x: wenn x ein A ist, ist x ein B.

Beispiel: Alle Raben sind schwarz, lässt sich nach Frege lesen als: Wenn x ein Rabe ist, dann ist x schwarz.

Wenn R als Abkürzung von ist ein Rabe und S als Abkürzung von ist schwarz verwendet wird, kann diese Aussage wie folgt symbolisiert werden: &;x (Rx &; Sx).

Das Urteil Kein Rabe ist schwarz hat demnach die Form: &;x (Rx &; &;Sx).

In der klassischen zweiwertigen Prädikatenlogik lässt sich der Allquantor auf den Existenzquantor zurückführen: &;x A(x) lässt sich nämlich lesen als: &;&;x &;A(x).

Urteile, die Allquantoren enthalten, heißen universale Urteile.

Wahrheitswertfunktionen für Alternativen

Diese &;ukasiewicz-Tarksi-Alternative ist definiert:

vel₁(x, y) =_df max(x, y).

Sie erfüllt die Normalbedingung der Alternative.

Jeder T-Norm t lässt sich eine Alternative vel_t zuordnen, die wie folgt definiert ist:

vel_t (x, y) =_df 1 – t(1 – x, 1 – y).

Diese Funktion ist die sogenannte T-Conorm. Jede T-Conorm erfüllt die Normalbedingung der Alternative.

Die &;ukasiewicz-Tarski-Alternative ist die zur &;ukasiwicz-Tarski-Konjunktion gehörende T-Conorm.

Ein zweites Beispiel einer mehrwertigen Alternative, die Bounded Sum bzw. starke Alternative, wird nach der Formel

vel₂(x, y) =_df min(1, x + y)

berechnet. Auch diese Alternative erfüllt dieNormalitätsbedingung und ist die zurBounded Differencegehörende T-Conorm.

Die Yager-Union wird fürp &; 1 wie folgt berechnet:

vel₃^p (x, y) =_df min(1,(x^p+y^p)^1/p)

Ob es sich bei dieser Alternative um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.

Die Werner-Union wird für0 &;g &; 1 wie folgt berechnet:

vel₄^g (x, y) =_df g * max(x, y) + 0.5 * (1 – g) * (x + y).

Ob es sich bei dieser Alternative um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.

Die Hamacher-Sum berechnet sich nach der Formel:

vel₅ (x, y) =_df (x + y – 2 * x * y) / (1 – x * y), falls x * y &; 1, 1 sonst.

Ob es sich bei dieser Alternative um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.

Die Hamacher-Unionberechnet sich für g&; -1 nach der Formel:

vel₆^g (x, y) =_df((g – 1) * x * y + x + y) / (1 + g * x * y);

Ob es sich bei dieser Alternative um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.

Die Schweizer-(1)-Union ergibt sich für p > 0 nach der Formel:

vel₇^p (x, y) =_df1 – max(0, min(1,((1-x)^p+(1-y)^p-1)^1/p))

Für p = 1 ergibt sich die Bounded Sum.

Ob es sich bei jeder Schweizer-(1)-Union um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.

Die Schweizer-(2)-Union ergibtsich für p > 0 nach der Formel:

vel₈^p (x, y) =_df 1-1/((1-x)^-p+(1-y)^-p-1)

Für p = 1 ergibt sich für die Hamacher Sum.

Ob es sich bei der Schweizer-(2)-Union um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.

Die Schweizer-(3)-Unionist für p > 0 definiert. Die Wahrheitswertfunktion wird wie folgt berechnet:

vel₉^p (x, y) =_df (x^p+y^p-x^p*y^p)^1/p

Für p = 1 ergibt sich die Formel:

vel₉¹ (x, y) =_df x + y – x * y

Diese Formel ist nur bei unendlicher Quasiwahrheitswertmenge oder im zweiwertigen Fall sinnvoll. Diese Alternative erfüllt die Normalbedingung der Alternative und ist diezum Algebraic Product gehörende T-Conorm.

Ob es sich bei jeder Schweizer-(3)-Union um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.

Die Dombi-Union ist für p > 0 und p &; 1 definiert. Sie berechnet sich wie folgt:

vel₁₀¹ (x, y) =_df 1 falls x = 1 oder y = 1, sonst 1 – 1 / (1 + ((x/(1-x))^p+(y/(1-y))^p)^1/p)

Ob es sich bei der Dombi-Union um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.

Die Weber-Union istfür p &; -1 definiert. DieseAlternative wird wie folgt berechnet:

vel₁₁¹ (x, y) =_df min(1,x+y+p*x*y)

Für p = 0 ergibt sich die Bounded Sum. Für p = -1 ergibt sich

vel₁₁^-1 (x, y) =_df x + y – x * y

Diese Alternative war schon ein Spezialfall der Schweizer-(3)-Unionfür p = 1. Diese Formel ist nur bei unendlicher Quasiwahrheitswertmenge oder im zweiwertigen Fall sinnvoll. Diese Alternative erfüllt die Normalbedingung der Alternative und ist diezum Algebraic Product gehörende T-Conorm.

Ob es sich bei jeder Weber-Union um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.

Die Dubois-Union ist fü0 &; p &; 1 definiert und berechnet sich wie folgt:

vel₁₂^p (x, y) =_df1, falls x = 1 oder y = 1, sonst 1 – (1-x) * (1-y) / max(max(1-x,1-y),p)

Ob es sich bei der Dubois-Union um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.

Das Dual-of-Geometric-Meanwird wie folgt berechnet:

vel₁₃^p (x, y) =_df1 – ((1-x)*(1-y))^1/2

Ob es sich beim Dual-of-Geometric-Mean um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.

Das Dual-of-Harmonic-Meanwird wie folgt berechnet:

vel₁₃^p (x, y) =_df1 falls x = 1 und y = 1, sonst (x+y-2*x*y)/(2-x-y)

Ob es sich beim Dual-of-Harmonic-Mean um eine T-Conorm handelt bleibt zu prüfen.

[1] &;ukasiewicz, J.: O logice trójwarto&;ciowej, Ruch Filozoficzny 5 1920, 170f.;
engl. in: &;ukasiewicz, J.: Selected Works (ed. L. Borkowski)Amsterdam/London/Warschau 1970
[2] Post, E. L.: Introduction to a general theory of elementarypropositions. American Journal Mathematics 43 (1921), 163 – 185
[3] &;ukasiewicz, J./Tarski, A.: Untersuchungenüber den Aussagenkalkül,Comptes Rendus Séances Société des Sciences et Lettres Varsovie, Cl. III, 23 (1930), 30 – 50

Methode der Analogie

Alethiologie

Reductio ad absurdum

Man findet diese Argumentationsfigur in der Philosophiegeschichte unter anderem bei den Sophisten, bei Sokrates und bei den Eristikern.