Negative Definition

Definition, in der nur darauf verwiesen wird, welche Merkmale dem gegebenen Gegenstand nicht zukommen, aber nichts darüber verlautet, welche Merkmale für ihn charakteristisch sind.

Die Definition "Ein Kreis ist kein Viereck" ist z. B. eine negative Definition.

Solche Definition sind keine wesentlichen Definitionen, sondern zufällige Definitionen.

In diesem Zusammenhang muß darauf hingewiesen werden, dass nicht alle Definitionen, die äußerlich den Charakter einer negativen Definition haben, logisch unhaltbar sind, sondern nur solche, bei denen das Definiendum keinen klar abgegrenzten Begriff bildet.

Wenn eine negative Definition der Regel der Angemessenheit und Klarheit genügt, ist ihr negativer Charakter kein Hindernis für ihre Zulässigkeit.

So ist z. B. die Definition "Parallele Geraden sind Geraden einer Ebene, die sich nicht schneiden" einwandfrei.

Die Berechtigung derartiger negativer Definitionen ist bereits in der Operation des Definierens selbst enthalten, die schon Spinoza durch die Worte "omnis determinatio est negatio" (jede Begrenzung ist eine Verneinung) charakterisierte und die man folgendermaßen beschreiben kann: Jede Definition, auch eine solche, in welcher explizit nur auf das Vorhandensein bestimmter wesentlicher Merkmale bei den unter die Definition fallenden Objekte aufgeführt ist, enthält implizit stets auch eine Negation anderer gleichrangiger Merkmale für die infrage kommenden Objekte.

So ist z. B. in der Definition "Eine gerade Zahl ist eine ganze Zahl, die durch 2 teilbar ist", das negative Merkmal der geraden Zahl eingeschlossen, dass sie nicht das Produkt von zwei ungeraden Zahlen ist, und dieses Merkmal kann sogar als negative Definition für den Begriff der geraden Zahl benutzt werden.

Axiomatische Definition

Axiomatische Definition nennt man die beim axiomatischen Aufbau einer Theorie aufgrund der vorausgesetzten Gültigkeit der Axiome implizit definierte Bedeutung der Grundbegriffe der Theorie. Dabei werden die Grundbegriffe also nicht auf andere Begriffe zurückgeführt, sondern nur durch in den Axiomen fixierte wechselseitige Beziehungen untereinander charakterisiert.

Z. B. werden beim Aufbau der Elementargeometrie nach Eukleides von Alexandreia die Begriffe Punkt, Gerade usw. zunächst als undefinierte Grundbegriffe verwendet und bestimmte zunächst undefinierte Beziehungen zwischen diese, wie liegt auf, liegt zwischen usw. betrachtet. Die Bedeutung dieser undefinierten Begriffe wird durch gewisse aus der Erfahrung abstrahierte Aussagen umrissen, die als unbewiesene Axiome an den Anfang eines deduktiven Aufbaus der Geometrie gesetzt werden, wie z. B. auf jeder Geraden liegen wenigstens zwei verschiedene Punkte oder zwischen zwei Punkten liegt stets ein weiterer dritter Punkt.

Da durch eine axiomatische Definition die Grundbegriffe des betrachteten Axiomensystems implizit beschrieben werden, ist für sie auch die Bezeichnung implizite Definition üblich. Man nennt sie auch indirekte Definition. Außerdem nennt man axiomatische Begriffe auch undefinierte Begriffe.

Zu enge Definition

Verstoß gegen die Regel der Begriffsbestimmung: die Definition muss angemessen sein. Dieser Fehler besteht darin, dass sich der Umfang des definierten Begriffs als kleiner erweist als der Umfang des zu definierenden Begriffes.

Er liegt z. B. in folgender Definition des Begriffes "Geometrie" vor:

"Geometrie ist die Lehre von den räumlichen Beziehungen der Körper". Tatsächlich ist die Geometrie nicht nur die Lehre von den räumlichen Körpern, sondern auch von den Formen der Körper.

Die lateinische Bezeichnung für eine zu enge Definition ist: definitio angustior.

Explizite Definition

Definition, bei der der zu definierende Begriff mittels einer gedanklichen oder sprachlichen Beschreibung durch hinreichend bekannte andere Begriffe erklärt wird. Z. B. hat das am häufigsten angewandte Definitionsverfahren definitio fit per genus proximum et differentiam specificam den Charakter einer expliziten Definition.

In vielen Fällen ist eine explizite Definition einfach die Einführung einer neuen Bezeichnung, eines Namens, für einen mehr oder minder komplizierten Zusammenhang zwischen Begriffen. Z. B. kann man den Begriff parallel für Geraden einfach als Abkürzung für liegen in einer Ebene und schneiden sich nicht ansehen.

Bei einer expliziten Definition, die den Charakter einer bloßen Abkürzung hat, ist das von einer Definition eigentlich zu fordernde Prinzip der äquivalenten Ersetzbarkeit von Definiendum und Definiens erfüllt: Es kann in jedem Kontext der definierte Begriff durch die definierende Beschreibung in den bekannten Begriffen, als deren Abkürzung er steht, ersetzt werden, ohne dass sich dabei die Bedeutung ändert.

Als Beispiele für Definitionen, die zunächst keine expliziten Definitionen sind, seien genannt: die Kontextdefinition, die implizite Definition, die induktive Definition und die ostensive Definition.

Deduktion, deduktiver Schluss

Als Deduktion oder deduktiven Schluss bezeichnet man den Schluss, der bei Wahrheit der Prämissen und Beachtung der Regeln der Logik die Wahrheit des Schlusssatzes gewährleistet.

Deduktive Schlüsse sind Bestandteil von Beweisen.

Es werden drei Arten von deduktiven Schlüssen unterschieden:

• Schluss vom Allgemeinen auf das Einzelne oder das weniger Allgemeine,
• Schluss von der Allgemeinheit auf dieselbe Allgemeinheit,
• Schluss vom Einzelnen auf das Partikuläre.

Deduktive Schlüsse sind Grundlage des Deduktionsparadoxons.