Widersprüchlichkeit der Definition

Eine Definition ist widersprüchlich, wenn aus ihr ein widersprüchliches Paar von Sätzen folgt, d. h. Sätze, von denen der eine bestreitet, was der andere behauptet.

Betrachten wir ein Beispiel. Den elementaren Begriff der Quadratwurzel einer Zahl beschreibt man in der Schule häufig folgendermaßßen: Die Quadratwurzel einer Zahl x ist eine solche Zahl y, deren Quadrat der Zahl x gleicht, d. h. sqrt(x) = y genau dann, wenn y² = x. Diese Definiton bestimmt den Begriff der Quadratwurzel für beliebige Zahlen x und y. Durch Einsetzen von 4 für x und 2 bzw. -2 für y erhalten wir:

4 = 2 genau dann, wenn 2² = 4
4 = -2 genau dann, wenn (-2)² = 4

Aus den Sätzen folgt 4=2 und 4 = -2 und damit 2 = -2. Widerspruch.

In dieser Weise haben wir gezeigt, dass die Einführung der Definition der Quadratwurzel in der genannten Art zu Widersprüchen führt. Wir müssen die angegebene Definition daher als widersprüchlich ablehnen.