Axiomatische Definition

Axiomatische Definition nennt man die beim axiomatischen Aufbau einer Theorie aufgrund der vorausgesetzten Gültigkeit der Axiome implizit definierte Bedeutung der Grundbegriffe der Theorie. Dabei werden die Grundbegriffe also nicht auf andere Begriffe zurückgeführt, sondern nur durch in den Axiomen fixierte wechselseitige Beziehungen untereinander charakterisiert.

Z. B. werden beim Aufbau der Elementargeometrie nach Eukleides von Alexandreia die Begriffe Punkt, Gerade usw. zunächst als undefinierte Grundbegriffe verwendet und bestimmte zunächst undefinierte Beziehungen zwischen diese, wie liegt auf, liegt zwischen usw. betrachtet. Die Bedeutung dieser undefinierten Begriffe wird durch gewisse aus der Erfahrung abstrahierte Aussagen umrissen, die als unbewiesene Axiome an den Anfang eines deduktiven Aufbaus der Geometrie gesetzt werden, wie z. B. auf jeder Geraden liegen wenigstens zwei verschiedene Punkte oder zwischen zwei Punkten liegt stets ein weiterer dritter Punkt.

Da durch eine axiomatische Definition die Grundbegriffe des betrachteten Axiomensystems implizit beschrieben werden, ist für sie auch die Bezeichnung implizite Definition üblich. Man nennt sie auch indirekte Definition. Außerdem nennt man axiomatische Begriffe auch undefinierte Begriffe.

Zu enge Definition

Verstoß gegen die Regel der Begriffsbestimmung: die Definition muss angemessen sein. Dieser Fehler besteht darin, dass sich der Umfang des definierten Begriffs als kleiner erweist als der Umfang des zu definierenden Begriffes.

Er liegt z. B. in folgender Definition des Begriffes "Geometrie" vor:

"Geometrie ist die Lehre von den räumlichen Beziehungen der Körper". Tatsächlich ist die Geometrie nicht nur die Lehre von den räumlichen Körpern, sondern auch von den Formen der Körper.

Die lateinische Bezeichnung für eine zu enge Definition ist: definitio angustior.

Explizite Definition

Definition, bei der der zu definierende Begriff mittels einer gedanklichen oder sprachlichen Beschreibung durch hinreichend bekannte andere Begriffe erklärt wird. Z. B. hat das am häufigsten angewandte Definitionsverfahren definitio fit per genus proximum et differentiam specificam den Charakter einer expliziten Definition.

In vielen Fällen ist eine explizite Definition einfach die Einführung einer neuen Bezeichnung, eines Namens, für einen mehr oder minder komplizierten Zusammenhang zwischen Begriffen. Z. B. kann man den Begriff parallel für Geraden einfach als Abkürzung für liegen in einer Ebene und schneiden sich nicht ansehen.

Bei einer expliziten Definition, die den Charakter einer bloßen Abkürzung hat, ist das von einer Definition eigentlich zu fordernde Prinzip der äquivalenten Ersetzbarkeit von Definiendum und Definiens erfüllt: Es kann in jedem Kontext der definierte Begriff durch die definierende Beschreibung in den bekannten Begriffen, als deren Abkürzung er steht, ersetzt werden, ohne dass sich dabei die Bedeutung ändert.

Als Beispiele für Definitionen, die zunächst keine expliziten Definitionen sind, seien genannt: die Kontextdefinition, die implizite Definition, die induktive Definition und die ostensive Definition.

Distributiver bedingter Schluss

Als distributiven bedingten Schluss bezeichnet man einen Schluss, in dem eine Prämisse ein disjunktives Urteil ist und dessen andere Prämissen bedingte Urteile sind.

Paradoxie von Chisholm

Chisholm entdeckte Paradoxien, die man mit Hilfe von Wiedergutmachungsimperativen formulieren kann. Chisholm konnte zeigen, dass eine Formalisierung derartiger Imperative in den üblichen deontischen Logiken zu logischen Widersprüchen führt.

Die Widersprüche die auch durch bedingte Gebote nicht umgangen werden konnten, führten zur Überzeugung, dass die deontische Logik mit Mitteln der Semantik unterlegt werden muss.