Wahrheitswertfunktionen für Negationen
- Häufig wird zur Beschreibung der Negation in Systemen mehrwertiger Logik die Wahrheitswertfunktion non1 verwendet, die sich durch die Formel
- non1(x) =df 1 – x
- beschreiben lässt. Man nennt diese Negation auch &;ukasiewicz–Tarski-Negation.
In der fünfwertigen Logik ergibt sich folgende Funktionstabelle
x 0 1/4 1/2 3/4 1 non1(x) 1 3/4 1/2 1/4 0 Die Negation non1 fällt mit der dreiwertigen Negation von &;ukasiewicz [1] und für den allgemeinen Fall mit der Negation von &;ukasiewicz und Tarski [2] zusammen. Sie entspricht beispielsweise auch der (dreiwertigen) inneren Negation von Bo&;var.
Diese Negation erfüllt die Normalbedingung der Negation, aber wenn es den Quasiwahrheitswert 1/2 gibt nie die Standardbedingung der Negation.
Eine andere Negation hat Post [3] verwendet. Sie wird auch als Post-Negation bezeichnet. Diese Negation lässt sich in die Formel:
- non2 =df x – (1 / (M – 1)), falls x &; 0, 1 sonst
- bringen, wobei M die Anzahl der Quasiwahrheitswerte ist.
In der fünfwertigen Logik ergibt sich folgende Funktionstabelle
x 0 1/4 1/2 3/4 1 non2(x) 1 0 1/4 1/2 3/4 Während die Funktion non1 auch bei unendlichen Quasiwahrheitsmengen sinnvoll ist und auch von
&;ukasiewicz und Tarski zu verwendet wurde, ist non2 nur für endliche Quasiwahrheitswertmengen sinnvoll. Man kann sie aber auf verschiedene Weise für unendliche Quasiwahrheitswertmengen verallgemeinern. Eine natürliche Verallgemeinerung ist die Formel- non2 =df x, falls x &; 0, 1 sonst
- für die unendliche Wahrheitswertmenge.
Die Funktion non1 erfüllt die Normalbedingung der Negation, die Funktion non2 dagegen nicht, falls M > 2 ist.
Bei Gödel findet sich eine weitere Negation, die sich daher zu Recht als Gödel-Negation bezeichnen lässt und wie folgt definiert ist:
- non3(x) =df 1, falls x = 0, 1 sonst
- In der fünfwertigen Logik ergibt sich folgende Funktionstabelle