Wahrheitswertfunktionen für Negationen

Häufig wird zur Beschreibung der Negation in Systemen mehrwertiger Logik die Wahrheitswertfunktion non₁ verwendet, die sich durch die Formel

non₁(x) =_df 1 – x

beschreiben lässt. Man nennt diese Negation auch &;ukasiewicz–Tarski-Negation.

In der fünfwertigen Logik ergibt sich folgende Funktionstabelle

Die Negation non₁ fällt mit der dreiwertigen Negation von &;ukasiewicz [1] und für den allgemeinen Fall mit der Negation von &;ukasiewicz und Tarski [2] zusammen. Sie entspricht beispielsweise auch der (dreiwertigen) inneren Negation von Bo&;var.

Diese Negation erfüllt die Normalbedingung der Negation, aber wenn es den Quasiwahrheitswert 1/2 gibt nie die Standardbedingung der Negation.

Eine andere Negation hat Post [3] verwendet. Sie wird auch als Post-Negation bezeichnet. Diese Negation lässt sich in die Formel:

non₂ =_df x – (1 / (M – 1)), falls x &; 0, 1 sonst

bringen, wobei M die Anzahl der Quasiwahrheitswerte ist.

In der fünfwertigen Logik ergibt sich folgende Funktionstabelle

x	0	1/4	1/2	3/4	1	non1(x)	1	3/4	1/2	1/4	0

Während die Funktion non₁ auch bei unendlichen Quasiwahrheitsmengen sinnvoll ist und auch von
&;ukasiewicz und Tarski zu verwendet wurde, ist non₂ nur für endliche Quasiwahrheitswertmengen sinnvoll. Man kann sie aber auf verschiedene Weise für unendliche Quasiwahrheitswertmengen verallgemeinern. Eine natürliche Verallgemeinerung ist die Formel

non₂ =_df x, falls x &; 0, 1 sonst

für die unendliche Wahrheitswertmenge.

Die Funktion non₁ erfüllt die Normalbedingung der Negation, die Funktion non₂ dagegen nicht, falls M > 2 ist.

Bei Gödel findet sich eine weitere Negation, die sich daher zu Recht als Gödel-Negation bezeichnen lässt und wie folgt definiert ist:

non₃(x) =_df 1, falls x = 0, 1 sonst

In der fünfwertigen Logik ergibt sich folgende Funktionstabelle

x	0	1/4	1/2	3/4	1	non2(x)	1	0	1/4	1/2	3/4

Diese Negation erfüllt zwar die Normalbedingung der Negation, aber nicht allgemein die Standardbedingung der Negation.

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[1] &;ukasiewicz, J.: O logice trójwarto&;ciowej, Ruch Filozoficzny 5 1920, 170f.;
engl. in: &;ukasiewicz, J.: Selected Works (ed. L. Borkowski) Amsterdam/London/Warschau 1970
[2] &;ukasiewicz, J./Tarski, A.: Untersuchungen über den Aussagenkalkül, Comptes Rendus Séances Société des Sciences et Lettres Varsovie, Cl. III, 23 (1930), 30 – 50
[3] Post, E. L.: Introduction to a general theory of elementary proposition, American Journal Mathematics 43 (1921), 163 – 185

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Jolanta2013-09-04T13:58:41+03:00

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x	0	1/4	1/2	3/4	1	non1(x)	1	0	0	0	0